回归预测

同一个点预测，两种不确定性

胡华平

huhuaping01@hotmail.com

西北农林科技大学

2026-11-03

预测一句“明天有雨”，到底在预测什么？

先自己选，再看区间为什么比一句断言更有用。

回归预测要同时回答两件事：点落在哪里，以及这个判断有多宽。

用三句日常预测开场，不要先写公式。请学生说出第三句为什么概率很高却不能指导带伞。约 2 分钟。

均值预测与个值预测

同一个 \(X_0\)，两个不同的问题

给定 \(X_0\)，样本回归线只给出一个点预测 \(\widehat Y_0=\widehat\beta_1+\widehat\beta_2 X_0\)。它同时是下面两个目标的线性无偏预测：

均值预测

目标是条件期望 \(E(Y\mid X=X_0)\)，也就是这个教育年数下的平均工资。

不确定的只是样本回归线本身。

个值预测

目标是某一个体 \((Y_0\mid X=X_0)\)。

除了回归线没估准，还要加上这个人自己的随机波动。

强调点预测相同，预测对象不同。先不要展开标准误公式。约 2 分钟。

从样本内走到 \(X_0=20\)

13 个观测都落在 X = 6, 7, …, 18。预测要走出这张表。

品红点是样本。紫色空心点只出现在 X₀，用来看见那里的一群人。橙色三角是样本内拟合值，红方块是点预测。

按五个按钮顺序点。前四步只建立预测对象：样本、样本外的一群人、这群人的均值、其中一个人。第五步才放出样本回归线和点预测。紫色圆圈是按样本拟合构造的示意分布，不是第二套调查数据。约 4 分钟。

同一个点，两种不确定性

标准误差在哪一项

样本为教育年数与时均工资，\(n=13\)，\(\bar X=12\)，\(\widehat\sigma^2=0.8812\)。在 \(X_0=20\) 处，\(\widehat Y_0=14.47\)。

均值预测

\[S_{\widehat Y_0}=\widehat\sigma\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(X_0-\bar X)^2}{\sum x_i^2}}=0.615\]

\(t\) 统计量的自由度是 \(n-2=11\)，不是 \(n-1\)。

个值预测

\[S_{(Y_0-\widehat Y_0)}=\widehat\sigma\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{(X_0-\bar X)^2}{\sum x_i^2}}=1.122\]

根号里多出的 \(1\)，是个体干扰 \(u_0\) 的方差。

对照原讲义时指出两处修正：临界值写成 t 的双侧分位数，自由度是 n-2；个值标准误不要写成 S 带 Y 帽。约 3 分钟。

\(X_0=20\) 的区间

区间按当前样本的 OLS 计算。

\(S_{\widehat Y_0}=0.615\)，\(S_{(Y_0-\widehat Y_0)}=1.122\)

\(\widehat Y_0\pm t_{1-\alpha/2}(11)\,S\)

自由度是 \(n-2\)，不是 \(n-1\)。

默认停在 95% 的均值区间，读出约 13.12 到 15.82。再切到个值区间，读出约 12.00 到 16.94，让学生看见变宽。最后切到 90% 和 99%，为课后题做准备。约 3 分钟。

置信带与离中心的代价

把一个区间铺到所有 \(X\)

置信带在 X̄ 处最窄。

绿带是均值预测，红带是个值预测。离开样本均值后，两条带一起变宽。

先只看绿色均值带，指出最窄处在 X 等于 12。再打开红色个值带，强调整条红带都在绿带外面。把 X0 从 12 改到 18，再改到 20，让学生说出宽度如何变化。约 4 分钟。

标准误为什么离开中心就变大

离开 X̄ 之后，标准误变大。

在样本均值处，离中心项为 0，两条标准误都最小。个值标准误还含有个体波动，不会缩成一个点。

点 X0=12，读出离中心项为 0。再点 X0=20，比较两条曲线的高度。约 2 分钟。

变宽并不等于更准

置信度从 90% 改到 99%

\(X_0=20\) 的均值区间：

置信度	\(t_{1-\alpha/2}(11)\)	均值区间	个值区间
90%	1.7959	[13.36, 15.57]	[12.45, 16.48]
95%	2.2010	[13.11, 15.82]	[12.00, 16.94]
99%	3.1058	[12.56, 16.38]	[10.98, 17.95]

先比较表里的上下限，再选择。

这页直接服务课后作业：同一 X0，95% 与 90% 的差别是宽度，不是点预测。重复抽样覆盖率是示意实验：数据由当前样本回归线加正态干扰生成，120 次里 95% 均值区间的覆盖比例为 92%，个值区间为 94%。不要把这个比例说成对真实工资总体的证明。约 3 分钟。

离开教室时留下四句话

点预测\(\widehat Y_0=\widehat\beta_1+\widehat\beta_2 X_0\)，均值和个值共用这一个数。

均值区间只计入回归线的抽样误差，在 \(\bar X\) 处最窄。

个值区间再计入个体波动，因此总是更宽。

更高置信度使用更大的 \(t\) 分位数，区间变宽。

请学生用自己的话说出：为什么 X0=20 比 X0=12 更难预测，以及为什么个值预测更宽。约 2 分钟。

互动练习结束